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热工数值方法-改进尤拉方法

首先,什么是尤拉方法?尤拉方法的思想是利用近似值yn代替y(xn)的值,然后利用曲线倒数乘以一个设定的步长得出yn+1的值,当我们设定的步长比较小的时候,所得的拟合曲线便会有足够的精度,然而为进一步提高计算的精度,结合梯形方法即可以形成改进尤拉格式,这样在进行热工数值计算时能够使精度足够且计算量较小。

在这种改进的尤拉格式中,先用尤拉方法求得一个初步的近似值,记yn+1,这一步即预报,然后再通过梯形方法对这一预报值进行修正,得到较为精确的yn+1值,这是一种热工数值计算中常用的方法。

这一方法可以表示为以下的两式:

  • 预报: yn+1 = yn + hf (xn , yn )
  • 校正: yn+1 = yn + h*[f (xn , yn )+f (xn+1 , yn+1 )]/2

在计算机求解的时候,我们需要给出一个y关于x的函数,同时设定步长h,这个函数不管是显式或者隐式的函数都可以。

Matlab中利用改进尤拉方法计算传热问题举例:

尤拉格式计算传热问题
尤拉格式计算传热问题

:薄壁物体温度响应的数值求解。如图所示,T=1500℃,Tw=500 ℃。从某时刻起,T0=20℃,直径1mm的热电偶结点置于高温气体中,气流对热电偶的表面换热系数 h=200W(m2/K),结点表面发射率 ε=0.2,高温气流对金属的氧化作用使热电偶结点产生一定的热量,其强度为 q=1000W/m3,求热电偶结点的温度响应。结点材料:ρ=8000kg/m3,c=0.38kJ/(kg*K),λ=50W/(m*K)

:我们在这里使用改进尤拉方法进行热工数值计算。

Matlab源代码如下:

function [x,y]=eulerg(x,y,h,N)
x=zeros(1,N+1);
y=zeros(1,N+1);
x(1)=0;
y(1)=293;
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
ybar=y(n)+h*dyfun(x(n),y(n));
y(n+1)=y(n)+(h/2)*(dyfun(x(n),y(n))+dyfun(x(n),ybar));
end
plot(x,y,'red');
function m=dyfun(x,y)
m=1/304+75/19*(1773-y)+(6.804e-8)/304*(1773^4-y^4);

在 matlab 中新建文件写入代码保存后,输入例如:eulerg(0,293,0.001,1000) 即可以得出热电偶温度y随时间x的变化规律曲线。

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